Question

3．在半径为R的圆形铁皮上截取一块矩形，并将其卷成一个圆柱，求圆柱体积的最大值．

Answer 1

分析 设矩形一边为a，用a表示出矩形的另一边，得出圆柱的体积关于a的函数，利用导数与函数最值的关系求出函数的最大值．

解答 解：设矩形的一边长为a，则另一边长为$\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}$．其中0＜a＜2R．
∴圆柱的底面半径为r=$\frac{a}{2π}$，高h=$\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}$．
∴圆柱的体积V（a）=π•$\frac{{a}^{2}}{4{π}^{2}}$•$\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{-{a}^{6}+{a}^{4}{R}^{2}}}{4π}$．
令f（a）=-a⁶+a⁴R²，则f′（a）=0，得-6a⁵+4R²a³=0，解得a=$\frac{2R}{\sqrt{6}}$．
当0＜a＜$\frac{2R}{\sqrt{6}}$时，f′（a）＞0，当$\frac{2R}{\sqrt{6}}$＜a＜2R时，f′（a）＜0，
∴当a=$\frac{2R}{\sqrt{6}}$时，f（a）取得最大值f（$\frac{2R}{\sqrt{6}}$）=$\frac{11{R}^{6}}{18}$．
∴V（a）的最大值为$\frac{\sqrt{\frac{11{R}^{6}}{18}}}{4π}$=$\frac{\sqrt{22}{R}^{3}}{24π}$．

点评 本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的体积公式，导数与函数的最值，属于中档题．