Question

8．已知a，b均为正数，且a²+$\frac{1}{4}$b²=1，则a$\sqrt{1+{b}^{2}}$的最大值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 得到4a²+b²=4，根据不等式的性质通过放大不等式求出最大值即可．

解答 解：∵a，b均为正数，且a²+$\frac{1}{4}$b²=1，
∴4a²+b²=4，
∴a$\sqrt{1+{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$•2a•$\sqrt{1{+b}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$•$\frac{{4a}^{2}+1{+b}^{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，
当且仅当4a²=b²+1即a=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时“=”成立，
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，是一道基础题．