Question

13．设实数a＜0，定义域为R的函数$f（x）=a{cos^2}x-bsinxcosx-\frac{a}{2}$的最大值是$\frac{1}{2}$，且$f（\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
（1）求a、b的值；
（2）求函数f（x）在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降幂，再由已知得关于a，b的不等式组，求解不等式组得a，b的值；
（2）由（1）得函数解析式，再由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上的最值可求．

解答 解：（1）$f（x）=a{cos^2}x-bsinxcosx-\frac{a}{2}$=$\frac{a（1+cos2x）}{2}-\frac{b}{2}sin2x$$-\frac{a}{2}$
=$\frac{a}{2}cos2x-\frac{b}{2}sin2x$，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{4}^2}+{\frac{b}{4}^2}=\frac{1}{4}\\-\frac{a}{4}-\frac{{\sqrt{3}b}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得：$f（x）=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}cos2x+\frac{1}{4}sin2x=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∵$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，
∴$2x-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
故当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{5π}{12}$时，函数f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$；
当$2x-\frac{π}{3}=\frac{7π}{6}$，即$x=\frac{3π}{4}$时，函数f（x）的最小值为$-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．