Question

1．已知在递增等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃是a₁和a₉的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{（{n+1}）{a_n}}}$，S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数m，使得S_n＜m对于任意的n∈N₊恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）存在$m≥\frac{1}{2}$．由于b_n=$\frac{1}{{（{n+1}）{a_n}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由{a_n}为等差数列，设公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，
∵a₃是a₁和a₉的等比中项，
∴${a}_{3}^{2}$=a₁•a₉，即（2+2d）²=2（2+8d），
解得d=0（舍）或d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）存在$m≥\frac{1}{2}$．
b_n=$\frac{1}{{（{n+1}）{a_n}}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{2}$，
∴存在实数m$≥\frac{1}{2}$，使得S_n＜m对于任意的n∈N₊恒成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．