Question

17．已知函数f（x）=sin²x+$\sqrt{3}sinxcosx，（{x∈R}）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知先求出f（x）=$sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，由此能求出函数f（x）的最小正周期．
（2）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，得到$2x-\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，由此能求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+$\sqrt{3}sinxcosx$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$
=$sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，…（6分）
函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}=π$．…（8分）
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$2x-\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，…（10分）
当$2x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}即x=0$时，f（x）_min=0，…（12分）
当$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}即x=\frac{π}{3}$时，$f{（x）_{max}}=\frac{3}{2}$．…（14分）

点评 本题考查函数的最小正周期的求法，考查函数的最小值和最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．