Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=$\frac{1}{2}$BC，点E、F分别是棱PB、边CD的中点．
（1）求证：AB⊥面PAD；
（2）求证：EF∥面PAD．

Answer 1

分析 （1）经点D作DG∥AB，交BC于G点，可证四边形ABGD为平行四边形，利用勾股定理可证CG⊥DG，从而可证AB⊥AD，再证PD⊥AB，即可证明AB⊥平面PAD．
（2）取AB的中点M，连接FM，EM，可证EM∥PA，FM∥AD，既有面EFM∥面PAD，进而可证EF∥面PAD．

解答 证明：（1）经点D作DG∥AB，交BC于G点，
∵AD∥BC，四边形ABGD为平行四边形，CD=13，AB=12，BC=10，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴CG=BC-BG=5，GD=AB=12，
∴CG²+GD²=5²+12²=CD²=13²，
∴CG⊥DG，
∴AB⊥AD，
又∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，
∴PD⊥AB，
∵PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD
（2）取AB的中点M，连接FM，EM，
∵点E、F分别是棱PB、边CD的中点．
∴EM∥PA，FM∥AD，
∵EM∩FM=M，DA∩PA=A，
∴面EFM∥面PAD，
又∵EF?面EFM，
∴EF∥面PAD．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．