Question

13．数列{a_n}的前n项和为S_n，2S_n+a_n=n²+2n+2，n∈N^*
（Ⅰ）证明：{a_n-n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{n（a_n-n）}的前n项和，求证：T_n$＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过2S_n+a_n=n²+2n+2与2S_n-1+a_n-1=（n-1）²+2（n-1）+2作差，进而整理可知3a_n-3n=a_n-1-（n-1），计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知n（a_n-n）=2n•$\frac{1}{{3}^{n}}$，进而利用错位相减法计算、放缩即得结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵2S_n+a_n=n²+2n+2，
∴当n≥2时，2S_n-1+a_n-1=（n-1）²+2（n-1）+2，
两式相减得：2a_n+a_n-a_n-1=2n+1，即3a_n=a_n-1+2n+1，
变形得：3a_n-3n=a_n-1-（n-1），
∴数列{a_n-n}是公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
又∵2S₁+a₁=1²+2+2，即a₁=$\frac{5}{3}$，a₁-1=$\frac{2}{3}$，
∴a_n-n=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=2•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴a_n=n+2•$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（Ⅱ）由（I）可知n（a_n-n）=2n•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=2•1•$\frac{1}{3}$+2•2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•3•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+2n•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=2•1•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•2•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+2（n-1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$+2n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{2}{3}$T_n=2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-2n•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{3}{2}$-（n+$\frac{3}{2}$）•$\frac{1}{{3}^{n}}$
$＜\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．