Question

3．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，a₁=1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，得到数列{ $\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+2}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又a₁=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$1+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n+1}{2}$，
则a_n=$\frac{2}{n+1}$．
数列{a_n}的通项公式：a_n=$\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．