Question

14．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且（a₂-1）³+2016（a₂-1）=sin$\frac{2011π}{3}$，（a₂₀₁₅-1）³+2016（a₂₀₁₅-1）=cos$\frac{2011π}{6}$，则S₂₀₁₆=2016．

Answer 1

分析 已知两个等式相加，再因式分解即可得到a₂+a₂₀₁₅的值，利用等差数列的性质与前n项和公式可得结果．

解答 解：∵（a₂-1）³+2016（a₂-1）=sin$\frac{2011π}{3}$=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$①，
（a₂₀₁₅-1）³+2016（a₂₀₁₅-1）=cos$\frac{2011π}{6}$=-cos$\frac{π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$②，
①+②得（a₂-1）³+2016（a₂-1）+（a₂₀₁₅-1）³+2016（a₂₀₁₅-1）=0，
即（a₂-1+a₂₀₁₅-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₅-1）+（a₂₀₁₅-1）²+2016]=0，
∴a₂-1+a₂₀₁₅-1=0，
即a₂+a₂₀₁₅=2，
∴S₂₀₁₆=$\frac{2016•{（a}_{1}{+a}_{2016}）}{2}$=1008（a₂+a₂₀₁₅）=1008×2=2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查了等差数列的前n项和，根据条件求出a₂+a₂₀₁₅的值是解题的关键，属中档题．