Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDE⊥平面PEC．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点G，连接AG，FG，则由中位线定理可知四边形AEFG是平行四边形，于是EF∥AG，从而得出EF∥平面PAD；
（2）由PD⊥平面ABCD得出PD⊥CE，由勾股定理的逆定理得出CE⊥DE，于是CE⊥平面PDE，故而平面PDE⊥平面PEC．

解答 证明：（1）取PD的中点G，连接AG，FG．
∵F，G分别是PC，PD的中点，
∴GF∥DC，GF=$\frac{1}{2}$DC，
又E是AB的中点，
∴AE∥DC，且AE=$\frac{1}{2}$DC，
∴GF∥AE，且GF=AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，故EF∥AG．
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）∵PD⊥底面ABCD，EC?底面ABCD，
∴CE⊥PD．
∵四边形ABCD是矩形，AB=2AD，
∴DE=$\sqrt{2}$AD，CE=$\sqrt{2}$AD，CD=2AD，
∴DE²+CE²=CD²，即CE⊥DE，
又PD?平面PDE，DE?平面PDE，PD∩DE=D，
∴CE⊥平面PDE．
∵CE?平面PEC，
∴平面PDE⊥平面PEC．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．