Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（其中n∈N^*）
（1）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•$\frac{2{a}_{n+1}}{3n+2}$（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立；
（3）设d_n=$\frac{（3n+5）•{2}^{n-1}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，数列{d_n}的前n项和为T_n，求证：$\frac{2}{5}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（其中n∈N^*），n=1时，a₁=2a₁-6+4，解得a₁=2．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n-2a_n-1=3×2^n-1，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，可得b_n-b_n-1=$\frac{3}{2}$．再利用等差数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得：a_n=（3n-1）×2^n-1．c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ×2ⁿ⁺¹．对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立，代入化为：（-1）^n-1λ＜2^n-1，
对n分类讨论即可得出．
（3）d_n=$\frac{（3n+5）•{2}^{n-1}}{（3n-1）•{2}^{n-1}•（3n+2）•{2}^{n}}$=$\frac{3n+5}{（3n-1）（3n+2）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{（3n-1）•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（3n+2）•{2}^{n}}$，利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．

解答 （1）证明：∵S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（其中n∈N^*），∴n=1时，a₁=2a₁-6+4，解得a₁=2．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3•2ⁿ+4-$（2{a}_{n-1}-3×{2}^{n-1}+4）$，化为：a_n-2a_n-1=3×2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{3}{2}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，可得b_n-b_n-1=$\frac{3}{2}$．
∴数列{b_n}是等差数列，公差为$\frac{3}{2}$，首项为1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{3}{2}$（n-1），化为：a_n=（3n-1）×2^n-1．
c_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•$\frac{2{a}_{n+1}}{3n+2}$=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•$\frac{2×（3n+2）×{2}^{n}}{3n+2}$=4ⁿ+（-1）^n-1λ×2ⁿ⁺¹．
对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立，∴4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ×2ⁿ⁺²＞4ⁿ+（-1）^n-1λ×2ⁿ⁺¹，化为：（-1）^n-1λ＜2^n-1，
n=2k-1（k∈N^*）时，化为：λ＜2^2k-2，∴λ＜1．
n=2k（k∈N^*）时，化为：λ＞-2^2k-1，∴λ＞-2．
综上可得：-2＜λ＜1，又λ为非零整数，∴λ=-1．
∴λ=-1时，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．
（3）证明：d_n=$\frac{（3n+5）•{2}^{n-1}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{（3n+5）•{2}^{n-1}}{（3n-1）•{2}^{n-1}•（3n+2）•{2}^{n}}$=$\frac{3n+5}{（3n-1）（3n+2）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{（3n-1）•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（3n+2）•{2}^{n}}$，
∴数列{d_n}的前n项和为T_n=d₁+d₂+…+d_n=$（\frac{1}{2×1}-\frac{1}{5×2}）$+$（\frac{1}{5×2}-\frac{1}{8×{2}^{2}}）$+…+（$\frac{1}{（3n-1）•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（3n+2）•{2}^{n}}$）
=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{（3n+2）•{2}^{n}}$，T₁=$\frac{8}{2×5×2}$=$\frac{2}{5}$．

∴$\frac{2}{5}$=${T}_{1}≤{T}_{n}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推关系、数列的单调性、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．