Question

5．三棱锥S-ABC的棱长都相等，E，F是棱SC上的点，若SE=$\frac{1}{3}$SC，SF=$\frac{2}{3}$SC，则AE与BF所成角的余弦值为$\frac{17}{52}$．

Answer 1

分析 取AC中点G、SC中点H，连结AH、FG、BG，则∠BEG是AE与BF所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出AE与BF所成角的余弦值．

解答 解：设三棱锥S-ABC的棱长都为2，
取AC中点G、SC中点H，连结AH、FG、BG，
∵E，F是棱SC上的点，若SE=$\frac{1}{3}$SC，SF=$\frac{2}{3}$SC，
∴FG∥AE，∴∠BEG是AE与BF所成角（或所成角的补角），
BG=AH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BF=AE=$\sqrt{A{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{3+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴GF=$\frac{AE}{2}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴cos∠BEG=$\frac{B{F}^{2}+G{F}^{2}-B{G}^{2}}{2×BF×GF}$=$\frac{\frac{13}{4}+\frac{13}{16}-3}{2×\frac{\sqrt{13}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{4}}$=$\frac{17}{52}$．
∴AE与BF所成角的余弦值为$\frac{17}{52}$．
故答案为：$\frac{17}{52}$．

点评 本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．