Question

15．已知实数a＞0，b＞0，0＜m＜4，且a+b=2，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{（4-m）b}$+$\frac{4}{mb}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{（4-m）b}$+$\frac{4}{mb}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$（$\frac{1}{4-m}$+$\frac{1}{m}$），先根据基本不等式求出$\frac{1}{4-m}$+$\frac{1}{m}$=$\frac{4}{m（4-m）}$的最小值，再代入去求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（a+b）的最小值，问题得以解决．

解答 解：∵$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{（4-m）b}$+$\frac{4}{mb}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$（$\frac{1}{4-m}$+$\frac{1}{m}$）
∵0＜m＜4，
∴m（4-m）≤（$\frac{m+4-m}{2}$）²=4，当且仅当m=2时等号成立，
∴$\frac{1}{4-m}$+$\frac{1}{m}$=$\frac{m+4-m}{m（4-m）}$=$\frac{4}{m（4-m）}$≥$\frac{4}{4}$=1，
∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{（4-m）b}$+$\frac{4}{mb}$≥$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（1+4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$）=$\frac{9}{2}$，当且仅当a=$\frac{2}{3}$，b=$\frac{4}{3}$时取等号，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{（4-m）b}$+$\frac{4}{mb}$的最小值为$\frac{9}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是灵活构造基本不等式，并注意不等号成立的条件，属于中档题．