Question

10．已知数列{a_n}满足[2-（-1）ⁿ]a_n+[2+（-1）ⁿ]a_n+1=1+（-1）ⁿ×3n，则a₂₅-a₁=300．

Answer 1

分析 由[2-（-1）ⁿ]a_n+[2+（-1）ⁿ]a_n+1=1+（-1）ⁿ×3n，当n=2k（k∈N^*），可得：a_2k+3a_2k+1=1+6k，n=2k-1（k∈N^*），可得：3a_2k-1+a_2k=1-6k+3，于是a_2k+1-a_2k-1=4k-1，利用“累加求和”方法与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵[2-（-1）ⁿ]a_n+[2+（-1）ⁿ]a_n+1=1+（-1）ⁿ×3n，
∴n=2k（k∈N^*），可得：a_2k+3a_2k+1=1+6k，
n=2k-1（k∈N^*），可得：3a_2k-1+a_2k=1-6k+3，
∴a_2k+1-a_2k-1=4k-1，
∴a₂₅=（a₂₅-a₂₃）+（a₂₃-a₂₁）+…+（a₃-a₁）+a₁
=（4×12-1）+（4×11-1）+…+（4×1-1）+a₁=$4×\frac{12×（12+1）}{2}$-12+a₁=300+a₁．
则a₂₅-a₁=300，
故答案为：300．

点评 本题考查了数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．