Question

1．△ABC是正三角形，平面ABC外有一点O，且OA=OB=OC，截面PQRS平行于OA和BC，则四边形PQRS是距形．

Answer 1

分析 由条件可知三棱锥的正三棱锥，作三棱锥的高线OO′，则可证BC⊥平面OAO′，于是BC⊥OA，由线面平行的性质可得截面四边形为平行四边形，由于四边形的两邻边分别与OA，BC平行，故而四边形的两邻边互相垂直．

解答 解：∵△ABC是正三角形，且OA=OB=OC，
∴三棱锥O-ABC为正三棱锥，
∵OA∥平面PQRS，OA?平面OAC，平面OAC∩平面PQRS=RS，
∴RS∥OA，
同理可得OA∥PQ，BC∥PS，BC∥QR，
∴RS∥PQ，RQ∥PS，
∴四边形PQRS是平行四边形．
作OO′⊥平面ABC，则O′为△ABC的中心，连结AO′并延长交BC与D，则AD⊥BC，
∵OO′⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴OO′⊥BC，又AD⊥BC，AD?平面OAD，OO′?平面OAD，OO′∩AD=O′，
∴BC⊥平面OAD，∵OA?平面OAD，
∴BC⊥OA，
∵PS∥BC，OA∥SR，
∴PS⊥SR，
∴平行四边形PQRS是矩形．
故答案为：矩形．

点评 本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定与性质，属于中档题．