Question

11．在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{AC}$|=m，m∈[1，2]，若对于任意实数t恒有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|，则△ABC面积的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 对于任意实数t恒有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|，故点B到直线AC的最短距离为BC，BC⊥AC，然后，求解即可．

解答 解：对于任意实数t恒有|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|，故点B到直线AC的最短距离为BC，
∴BC⊥AC，
∴c=90°，
∵A=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{AC}$|=m，
∴|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$m，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$m×$\sqrt{3}$m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²，
∵m∈[1，2]，
∴△ABC面积的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2²=2$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题