Question

20．若实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y≥0}\\{x+y-4≤0}\\{2y≥{x}^{2}}\end{array}\right.$，则4^y-x的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，16]
• B． [$\frac{1}{2}$，16]
• C． [$\frac{1}{2}$，4]
• D． [1，16]

Answer 1

分析 令z=y-x，作平面区域，从而结合图象知，要分类讨论求z的最值，从而结合图象求取值范围即可．

解答 解：令z=y-x，由题意作平面区域如下，
，
当直线y=x+z与y=$\frac{{x}^{2}}{2}$相切时，z有最小值，
而y′=x=1得，切点为（1，$\frac{1}{2}$）；
故z的最小值为$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
当直线y=x+z过点A（1，3）时，z有最大值3-1=2；
故-$\frac{1}{2}$≤y-x≤2，
故$\frac{1}{2}$≤4^y-x≤16，
故选：B．

点评 本题考查了线性规划的变形应用及导数的综合应用，同时考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．