Question

8．在数列{a_n}中，a_n=n（sin$\frac{nπ}{2}$+cos$\frac{nπ}{2}$），前n项和为S_n，则S₁₀₀=0．

Answer 1

分析 通过b_n=sin$\frac{nπ}{2}$+cos$\frac{nπ}{2}$，可知当n除以4的余数分别为1、2、3、0时b_n的表达式，进而计算可得结论．

解答 解：记b_n=sin$\frac{nπ}{2}$+cos$\frac{nπ}{2}$，则
b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+0=1，}&{n=4k-3}\\{0-1=-1，}&{n=4k-2}\\{-1+0=-1，}&{n=4k-1}\\{0+1=1，}&{n=4k}\end{array}\right.$，
∴S₁₀₀=（a₁+a₅+…+a₉₇）+（a₂+a₆+…+a₉₈）+（a₃+a₇+…+a₉₉）+（a₄+a₈+…+a₁₀₀）
=（1+5+…+97）-（2+6+…+98）-（3+7+…+99）+（4+8+…+100）
=0，
故答案为：0．
注：本题还可以利用a_4k-3+a_4k-2+a_4k-1+a_4k=0来计算．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．