Question

18．已知数列{a_n}的前项和为S_n，且满足2S_n=1-2a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=n•a_n，求证：数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2S_n=1-2a_n，∴n=1设，2a₁=1-2a₁，解得a₁=$\frac{1}{4}$．n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（1-2a_n）-（1-2a_n-1），化为：${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为$\frac{1}{2}$，首项为$\frac{1}{4}$．
∴${a}_{n}=\frac{1}{4}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
（2）b_n=n•a_n=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{n}{{2}^{n+2}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n}{{2}^{n+2}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．