Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=3，S_n+1-2S_n=1-n．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系可得：a_n+1-2a_n=-1，变形为：a_n+1-1=2（a_n-1），再利用等比数列的通项公式即可得出，注意验证n=1时是否成立．
（II）n=1时，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{9}$．n≥2时，b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$，通过分类讨论即可得出．

解答 解：（I）∵S_n+1-2S_n=1-n，∴n=1时，S₂-2S₁=0，∴a₂=a₁=3．
n≥2时，S_n-2S_n-1=2-n，相减可得：a_n+1-2a_n=-1，变形为：a_n+1-1=2（a_n-1），
∴数列{a_n-1}从第二项起是等比数列，a₂-1=2，公比为2．
∴a_n-1=2×2^n-2=2^n-1，即a_n=2^n-1+1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n-1}+1，n≥2}\end{array}\right.$．．
（II）n=1时，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{9}$．
n≥2时，b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
∴n=1时，T₁=$\frac{1}{9}$．
n≥2时，数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{9}$+$（\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）$
=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$
=$\frac{4}{9}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{9}，n=1}\\{\frac{4}{9}-\frac{1}{{2}^{n}+1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、等比数列的通项公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．