Question

5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₉=90，S₁₅=240．
（1）求{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n
（2）设{b_n-（-1）ⁿa_n}是等比数列，且b₂=7，b₅=71，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）设等比数列{b_n-（-1）ⁿa_n}的公比为q，可得${b}_{2}-（-1）^{2}{a}_{2}$=3，${b}_{5}-（-1）^{5}{a}_{5}$=81，利用等比数列的通项公式可得：81=3q³，解得q．可得b_n=（-1）ⁿ•2n+3^n-1．对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₉=90，S₁₅=240．
∴$9{a}_{1}+\frac{9×8}{2}$d=90，15a₁+$\frac{15×14}{2}$d=240，
联立解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．
（2）设等比数列{b_n-（-1）ⁿa_n}的公比为q，
${b}_{2}-（-1）^{2}{a}_{2}$=7-4=3，
${b}_{5}-（-1）^{5}{a}_{5}$=71+10=81，
∴81=3q³，解得q=3．
∴b_n-（-1）ⁿa_n=b_n-（-1）ⁿ•2n=3×3^n-2=3^n-1．
∴b_n=（-1）ⁿ•2n+3^n-1．
数列{3^n-1}的前n项和=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=T_2k=2[（2-1）+（4-3）+…+（n-（n-1））]+3ⁿ-1=2k+3ⁿ-1=n+$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．
数列{b_n}的前n项和T_n=T_2k-1=-2+2[（2-3）+（4-5）+…+（n-1-n）]+$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）
=-2-2（k-1）+$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）
=$\frac{{3}^{n}-（2n+3）}{2}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+\frac{1}{2}（{3}^{n}-1），n=2k}\\{\frac{{3}^{n}-（2n+3）}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N^*．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．