Question

4．数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（I）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列；
（Ⅱ）若T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）由na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1）知$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，从而证明数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，1为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（I）可得a_n=n²，从而分类讨论以求T_n．

解答 解：（I）证明：∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{1}$=1；
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，1为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（I）知，$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+n-1=n，
故a_n=n²，
当n为奇数时，
T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n
=（1²-2²）+（3²-4²）+（5²-6²）+…+（（n-2）²-（n-1）²）+n²
=-3-7-11-…-2n+3+n²
=-$\frac{n（n-1）}{2}$+n²=-$\frac{n（n+1）}{2}$；
当n为偶数时，
T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n
=（1²-2²）+（3²-4²）+（5²-6²）+…+（（n-1）²-n²）
=-3-7-11-…-2n+1
=-$\frac{n（n-1）}{2}$+n²=$\frac{n（n+1）}{2}$；
综上所述，T_n=（-1）ⁿ$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想与分类讨论的思想应用及构造法的应用．