Question

13．下列命题正确的是（　　）

• A． 如果非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的方向相反或相同，那么$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的方向必与$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$中的一个向量的方向相同
• B． 若$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$$+\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，则A，B，C为三角形的三个顶点
• C． 设$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，若$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$
• D． 若|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$

Answer 1

分析 考虑非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的和为零向量，由零向量的方向不确定，即可判断A；
考虑若$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$均为$\overrightarrow{0}$，则结论不成立，即可判断B；
运用向量共线定理，推理可得C正确；
考虑$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$反向，且|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$|，即可判断D不正确．

解答 解：对于A，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，则它的方向不确定，故A不正确；
对于B，由$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，若$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$均为$\overrightarrow{0}$，则结论不成立；
若$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$不为$\overrightarrow{0}$，则结论成立．故B不正确；
对于C，设$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，若$\overrightarrow{a}$∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），由向量共线定理可得，存在唯一的实数λ，
使得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$成立，即有$\overrightarrow{b}$=（λ-1）$\overrightarrow{a}$，由向量共线定理可得$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$．故C正确；
对于D，若|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$反向，且|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$|．故D不正确．
故选：C．

点评 本题考查向量的有关概念和共线定理的运用，注意零向量的方向不确定，考查推理能力，属于基础题和易错题．