Question

4．若sinα=$\frac{4}{5}$，且α是第二象限的角，则cot（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）=-3．

Answer 1

分析 由θ是第二象限角，及sinθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，进而确定出tanθ的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan$\frac{α}{2}$的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan$\frac{α}{2}$的值代入计算，即可求出值．

解答 解：∵α是第二象限角，且sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=-$\frac{4}{3}$，即2tan²$\frac{α}{2}$-3tan$\frac{α}{2}$-2=0，
解得：tan$\frac{α}{2}$=-$\frac{1}{2}$（不合题意，舍去．因为α是第二象限角，$\frac{α}{2}$是第一象限或第三象限角，tan$\frac{α}{2}$＞0）或tan$\frac{α}{2}$=2，
则tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）=$\frac{1-tan\frac{α}{2}}{1+tan\frac{α}{2}}$=-$\frac{1}{3}$．
则cot（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）=-3．
故答案为：-3．

点评 此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题．