Question

14．已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），g（x）=$\frac{19}{6}$x-$\frac{1}{3}$．是否处在实数a，存在x₁∈[-1，1]，x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 由题意，函数f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集，分别求出值域，再建立不等式，即可得到结论

解答 由题意，函数f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集
∵x∈[0，2]，g（x）=$\frac{19}{6}$x-$\frac{1}{3}$，∴g（x）∈[-，6]；
令F（x）=f′（x）+2ax=3x²+2（1-a）x-a（a+2）+2ax=3x²+2x-a²-2a
∵x∈[-1，1]，
∴F（x）∈[-$\frac{1}{3}$-a²-2a，5-a²-2a]
∴-$\frac{1}{3}$-a²-2a≥-$\frac{1}{3}$且5-a²-2a≤6
∴-2≤a≤0
∴a∈[-2，0]

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的值域，将问题等价转化是关键，属于中档题．