Question

18．当|m|≤2时，不等式mx²-2x-m+1＜0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 令f（m）=m（x²-1）-2x+1，由条件f（m）＜0对满足|m|≤2的一切m的值都成立，利用一次函数的单调性可得：f（-2）＜0，f（2）＜0．解出即可．

解答 解：令f（m）=mx²-2x-m+1=m（x²-1）-2x+1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$即可，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-2（{x}^{2}-1）-2x+1＜0}\\{2（{x}^{2}-1）-2x+1＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
所以实数x的取值范围是（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题以不等式为载体，考查恒成立问题，解题的关键是等价转化，构造新函数，属于基础题．