Question

11．已知在三棱锥P-ABC中，AP=AB=AC=1，BC=PB=PC=$\sqrt{2}$，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3π．

Answer 1

分析 由题意可知A在底面PBC的投影为底面正三角形的中心，设球半径为r，用r表示出由球心，△PBC的中心和P点构成的直角三角形的三边，使用勾股定理解出r，得出球的面积．

解答 解：∵BC=PB=PC=$\sqrt{2}$，AP=AB=AC=1，
∴三棱锥A-PBC为正三棱锥，
作AO⊥平面PBC，则O为正三角形PBC的中心，且PO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴OA=$\sqrt{P{A}^{2}-O{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
设外接球球心为M，半径为r，则PM=r，MO=|$\frac{\sqrt{3}}{3}$-r|，
由勾股定理得：r²=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-r）²，
解得r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴球的表面积S=4πr²=3π．
故答案为：3π．

点评 本题考查了棱锥与外接球的关系，属于中档题．