Question

6．如图，设正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是AD和CC₁的中点．
（1）求证：A₁E⊥BF；
（2）求异面直线A₁E与CD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁E⊥BF．
（2）求出$\overrightarrow{{A}_{1}E}$，$\overrightarrow{C{D}_{1}}$，利用向量法能求出异面直线A₁E与CD₁所成角的余弦值．

解答 证明：（1以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是AD和CC₁的中点，
∴A₁（0，0，2），E（0，1，0），B（2，0，0），F（2，2，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{BF}$=0+2-2=0，
∴A₁E⊥BF．
解：（2）$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-2），C（2，2，0），D₁（0，2，2），
$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（-2，0，2），
设异面直线A₁E与CD₁所成角为θ，
cosθ=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{C{D}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$|=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴异面直线A₁E与CD₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．