Question

20．已知定义在R上的函数满足条件f（x+$\frac{3}{2$）=-f（x），且函数y=f（x-$\frac{3}{4}$）为奇函数，则下面给出的命题，错误的是（　　）

• A． 函数y=f（x）是周期函数，且周期T=3
• B． 函数y=f（x）在R上有可能是单调函数
• C． 函数y=f（x）的图象关于点$（-\frac{3}{4}，0）$对称
• D． 函数y=f（x）是R上的偶函数

Answer 1

分析 题目中条件：f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．

解答 解：对于A：∵f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3，A对；
对于B：由D得：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，B不对．
对于C：∵y=f（x-$\frac{3}{4}$）是奇函数∴其图象关于原点对称，
又∵函数f（x）的图象是由y=f（x-$\frac{3}{4}$）向左平移$\frac{3}{4}$个单位长度得到，
∴函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）对称，故C对；
对于D：由C知，对于任意的x∈R，都有f（-$\frac{3}{4}$-x）=-f（-$\frac{3}{4}$+x），用$\frac{3}{4}$+x换x，可得：f（-$\frac{3}{2}$-x）+f（x）=0，
∴f（-$\frac{3}{2}$-x）=-f（x）=f（x+$\frac{3}{2}$）对于任意的x∈R都成立，
令t=$\frac{3}{2}$+x，则f（-t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，D对．
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．是中档题．