Question

20．过点P（-1，-2）的直线l分别交x轴的负半轴和y轴的负半轴于A，B两点．
（1）当PA•PB最小时，求l的方程；
（2）设△AOB的面积为S，讨论这样的直线l的条数．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，结合图形，表示出PA•PB，求出它取最小值时直线l的方程即可．
（2）因为△AOB的面积为S，设直线l的斜率为k（k＜0），则过点P（-1，-2）的直线l的直线方程为y+2=k（x+1），根据三角形的面积公式得到2S=|k-2|•|$\frac{2}{k}$-1|，即为k²+（2S-4）k+4=0，根据判别式讨论解得情况，即可得到直线l的条数．

解答 解：（1）根据题意，画出图形，如图所示：
设∠BAO=θ，则0°＜θ＜90°，
PA=$\frac{2}{sinθ}$，PB=$\frac{1}{cosθ}$，
∴PA•PB=$\frac{2}{sinθ}$•$\frac{1}{cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$，
当2θ=90°，即θ=45°时，
PA•PB取得最小值，
此时直线的倾斜角为135°，斜率为-1，
∴直线l的方程为y+2=-1（x+1），
化简得x+y+3=0，
（2）因为△AOB的面积为S，设直线l的斜率为k（k＜0），
∴点P（-1，-2）的直线l的直线方程为y+2=k（x+1），
当x=0时，y=k-2，
当y=0时，x=$\frac{2}{k}$-1，
∴2S=|k-2|•|$\frac{2}{k}$-1|=（2-k）（1-$\frac{2}{k}$）=2+2-$\frac{4}{k}$-k，
∴k²+（2S-4）k+4=0，
当△＜0时，即（2S-4）²-4×4＜0，解得0＜S＜4时，方程无解，此时直线的条数为0，
当△=0时，即（2S-4）²-4×4=0，解得S=4时，方程有一个解，解得k=-2，此时直线的条数为1，
当△＞0时，即（2S-4）²-4×4＞0，解得S＞4时，方程有两个解，解得k=-（s-2）±$\sqrt{（s-2）^{2}-4}$＜0，此时直线的条数为2．

点评 本题考查直角三角形中的边角关系，三角函数的最值问题，也考查了用点斜式求直线的方程的应用问题，以及根的判别式的应用，属于中档题．