Question

5．如图所示，在正方体AC₁中，E，F分别是AB，AA₁的中点．
（1）求证：CE，D₁F，DA三线交于点P；
（2）在（1）的结论中，G是D₁E上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．

Answer 1

分析 （1）证明EC与D₁F相交，设交点为P，再证明P在平面ABCD与平面ABCD的交线上，即可证明CE、D₁F、DA三线共点；
（2）证明P，E，H都在平面PCD₁与平面ABCD的交线上，即可得出P，E，H三点共线．

解答 解：（1）证明：正方体AC₁中，E，F分别是AB，AA₁的中点，
∴EF∥CD₁且EF≠CD₁，∴EC与D₁F相交，设交点为P，
∵P∈EC，EC⊆平面ABCD，∴P∈平面ABCD；
又∵P∈FD₁，FD₁⊆平面ADD₁A₁，∴P∈平面ADD₁A₁，
∴P为两平面的公共点，
平面ABCD∩平面ADD₁A₁=AD，∴P∈AD，
∴CE、D₁F、DA三线共点于P；
（2）证明：如图所示，
在（1）的结论中，G是D₁E上一点，FG交平面ABCD于点H，
则FH?平面PCD₁，∴H∈平面PCD₁，又H∈平面ABCD，
∴H∈平面PCD₁∩平面ABCD，
同理，P∈平面PCD₁∩平面ABCD，
E∈平面PCD₁∩平面ABCD，
∴P，E，H都在平面PCD₁与平面ABCD的交线上，
∴P，E，H三点共线．

点评 本题考查了立体几何中的点线面的位置关系与应用问题，也考查了数形结合与逻辑推理能力，是综合性题目．