Question

15．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²x-$\sqrt{3}$，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]．求
（1）函数f（x）的最大值、最小值．
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值、最小值．
（2）根据所给的x的范围，结合正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin²（x+$\frac{π}{4}$）+2cos²x-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$+cos2x+1-$\sqrt{3}$，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最大值为2sin$\frac{2π}{3}$+1=$\sqrt{3}$+1；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为2sin$\frac{5π}{6}$+1=2．
（2）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1为减函数，
故函数的减区间为[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于中档题．