Question

7．已知数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=（log₂a_3n+1）×（log₂a_3n+4），求证：$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差数列，可得2a_n=$\frac{1}{2}+{S}_{n}$，当n=1时，2a₁=$\frac{1}{2}+{a}_{1}$，解得a₁．当n≥2时，2a_n-2a_n-1=a_n，化为：a_n=2a．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$lo{g}_{2}{2}^{（3n-1）}$•log₂（3n+2）=（3n-1）（3n-2），可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．

解答 （1）解：∵$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差数列，∴2a_n=$\frac{1}{2}+{S}_{n}$，
当n=1时，2a₁=$\frac{1}{2}+{a}_{1}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，2a_n-2a_n-1=$\frac{1}{2}+{S}_{n}$-$（\frac{1}{2}+{S}_{n-1}）$=a_n，化为：a_n=2a．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为2．∴a_n=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
（2）证明：b_n=（log₂a_3n+1）×（log₂a_3n+4）=$lo{g}_{2}{2}^{（3n-1）}$•log₂（3n+2）=（3n-1）（3n-2），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．
∴$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+$\frac{1}{b_3}$+…+$\frac{1}{b_n}$=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．