Question

16．2016年是我国重点打造“智慧城市”的一年，主要在“智慧技术、智慧产业、智慧应用、智慧服务、智慧治理、智慧人文、智慧生活”7个方面进行智慧化．现假设某一城市目前各项指标分数x（满分10分）与智慧城市级别y（级）的有关数据如表：

项目	智慧技术	智慧产业	智慧应用	智慧服务	智慧治理	智慧人文	智慧生活
指标分数x	6.8	7	6.8	6.8	7.2	7	7.4
智慧级别y	9	8.8	9	9.1	9.2	8.8	9.1

（1）请根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）从智慧城市级别的7项指标中随机抽取1项指标，级别在区间[9.1，10）内记10分，在区间[9，9.1）内记6分，在区间[8，9）内记5分．现从中随机抽取2项指标考查，记得分总和为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x）}（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）根据各项指标的分数分布得出ξ的取值情况，计算各种可能的概率得到分布列，代入公式计算数学期望．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{7}×（6.8+7+6.8+6.8+7.2+7+7.4）$=7，
$\overline{y}=\frac{1}{7}×（9+8.8+9+9.1+9.2+8.8+9.1）$=9．
$\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=0+0+0+（-0.2）×0.1+0.2×0.2+0+0.4×0.1=0.06．
$\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=0.04+0+0.04+0.06+0.04+0+0.16=0.34．
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{0.06}{0.34}$=$\frac{3}{17}$.$\stackrel{∧}{a}$=9-$\frac{3}{17}×7$=$\frac{132}{17}$．
∴y关于x的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{3}{17}x$+$\frac{132}{17}$．
（2）级别在[9.1，10）内的有3项，在区间[9，9.1）内的有两项，在区间[8，9）内的有两项．
∴从中随机抽取2项指标考查，总得分ξ的取值集合为{10，11，12，15，16，20}．
从7项指标中随机抽取两项共有${C}_{7}^{2}$=21个基本事件，
P（ξ=10）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{21}=\frac{1}{21}$，P（ξ=11）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{21}=\frac{4}{21}$，P（ξ=12）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{21}=\frac{1}{21}$，
P（ξ=15）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{21}=\frac{2}{7}$，P（ξ=16）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{21}=\frac{2}{7}$，P（ξ=20）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{21}=\frac{1}{7}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	10	11	12	15	16	20
P	$\frac{1}{21}$	$\frac{4}{21}$	$\frac{1}{21}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$

∴ξ的数学期望E（ξ）=10×$\frac{1}{21}$+11×$\frac{4}{21}$+12×$\frac{1}{21}$+15×$\frac{2}{7}$+16×$\frac{2}{7}$+20×$\frac{1}{7}$=$\frac{104}{7}$．

点评 本题考查了回归方程的求解，随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．