Question

2．已知首项为1的正项数列{a_n}满足a_n+1²+a_n²＜$\frac{5}{2}{a_{n+1}}{a_n}$，n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=x，a₄=4，求x的取值范围；
（2）设数列{a_n}是公比为q的等比数列，若$\frac{1}{2}{S_n}$＜S_n+1＜2S_n，n∈N^*，求q的取值范围；
（3）若a₁，a₂，…，a_k（k≥3）成等差数列，且a₁+a₂+…+a_k=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a₁，a₂，…，a_k．

Answer 1

分析 （1）首项为1的正项数列{a_n}满足a_n+1²+a_n²＜$\frac{5}{2}{a_{n+1}}{a_n}$，n∈N^*，化为（2a_n+1-a_n）（a_n+1-2a_n）＜0，解得：$\frac{1}{2}＜\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜2．又a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=x，a₄=4，代入解出即可得出．
（2）由于首项为1的正项数列{a_n}，由于$\frac{1}{2}＜\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜2．可得$\frac{1}{2}＜q＜2$．对q分类讨论：q=1时，n=1时不满足条件，因此q≠1．②由$\frac{1}{2}•\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$$＜\frac{1-{q}^{n+1}}{1-q}$＜2$•\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，$\frac{1}{2}$＜q＜1时，经过验证成立：$\frac{1}{2}$＜q＜1.2＞q＞1时，化为2qⁿ⁺¹-qⁿ-1＞0，qⁿ⁺¹-2qⁿ+1＜0不成立，舍去．
（3）设首项为1的正项数列{a_n}的公差为d，d≥0，由$\frac{1}{2}＜\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜2，化为1+（n-1）d＜2（1+nd）＜4[1+（n-1）d]．分类讨论：n=1时，n=2时，n≥3时，可得：0≤d＜1．根据a₁，a₂，…，a_k（k≥3）成等差数列，a₁+a₂+…+a_k=120，可得k+$\frac{k（k-1）}{2}$d=120，k=1时，不成立，舍去．k≥2时，解得d=$\frac{240-2k}{{k}^{2}-k}$，代入解得：15＜k≤120．即可得出．

解答 解：（1）∵首项为1的正项数列{a_n}满足a_n+1²+a_n²＜$\frac{5}{2}{a_{n+1}}{a_n}$，n∈N^*，化为（2a_n+1-a_n）（a_n+1-2a_n）＜0，
∴$\frac{1}{2}＜\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜2．
又a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=x，a₄=4，
∴$\frac{1}{2}＜\frac{2x}{3}＜2$，$\frac{1}{2}＜\frac{4}{x}＜2$，
解得：2＜x＜3．
∴x的取值范围是（2，3）．
（2）由于首项为1的正项数列{a_n}，
∵$\frac{1}{2}＜\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜2．∴$\frac{1}{2}＜q＜2$．
①q=1时，n=1时不满足：$\frac{1}{2}{S_n}$＜S_n+1＜2S_n，n∈N^*，因此q≠1．
②可得$\frac{1}{2}•\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$$＜\frac{1-{q}^{n+1}}{1-q}$＜2$•\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，
$\frac{1}{2}$＜q＜1时，化为2qⁿ⁺¹-qⁿ＜1，qⁿ⁺¹-2qⁿ+1＞0，由于qⁿ（2q-1）＜1，因此2qⁿ⁺¹-qⁿ＜1恒成立；由qⁿ＜q，可得q²ⁿ＜qⁿ⁺¹，∴qⁿ$＜\sqrt{{q}^{n+1}}$，∴2qⁿ$＜2\sqrt{{q}^{n+1}}$＜1+qⁿ⁺¹，因此qⁿ⁺¹-2qⁿ+1＞0恒成立，可得：$\frac{1}{2}$＜q＜1．
2＞q＞1时，化为2qⁿ⁺¹-qⁿ-1＞0，qⁿ⁺¹-2qⁿ+1＜0，无解，舍去．
综上可得：$\frac{1}{2}$＜q＜1．
（3）设首项为1的正项数列{a_n}的公差为d，d≥0，
由$\frac{1}{2}＜\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜2，可得$\frac{1}{2}$＜$\frac{1+nd}{1+（n-1）d}$＜2，
化为1+（n-1）d＜2（1+nd）＜4[1+（n-1）d]，
n=1时，0≤d＜1；n=2时，d≥0；
n≥3时，d≥0．
综上可得：0≤d＜1．
∵a₁，a₂，…，a_k（k≥3）成等差数列，a₁+a₂+…+a_k=120，
∴k+$\frac{k（k-1）}{2}$d=120，
k=1时，不成立，舍去．
k≥2时，解得d=$\frac{240-2k}{{k}^{2}-k}$，
∵0≤d＜1．
∴0≤$\frac{240-2k}{{k}^{2}-k}$＜1．
解得：15＜k≤120．
∴满足条件的正整数k的最小值为16，此时d=$\frac{13}{15}$，
相应数列的通项公式为：a_n=1+$\frac{13}{15}$（n-1）=$\frac{13n+2}{15}$．
数列为：1，$\frac{28}{15}$，…，14．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．