Question

10．已知函数g（x）=x-1，函数f（x）满足f（x+1）=-2f（x）-1，当x∈（0，1]时，f（x）=x²-x，对于?x₁∈（1，2]，?x₂∈R，则（x₁-x₂）²+（f（x₁）-g（x₂））²的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{49}{128}$
• C． $\frac{81}{128}$
• D． $\frac{125}{128}$

Answer 1

分析 函数f（x）满足f（x+1）=-2f（x）-1，当x∈（0，1]时，f（x）=x²-x，?x₁∈（1，2]，x₁-1∈[0，1]，则f（x₁）=-2f（x₁-1）-1-1=$-2{x}_{1}^{2}$+6x₁-5．
设直线y=x+m与抛物线y=-2x²+6x-5相切，化为2x²-5x+5+m=0，令△=0，解得m．利用平行线之间的距离公式即可得出．

解答 解：函数f（x）满足f（x+1）=-2f（x）-1，当x∈（0，1]时，f（x）=x²-x，
?x₁∈（1，2]，x₁-1∈[0，1]，则f（x₁）=-2f（x₁-1）-1=-2$[（{x}_{1}-1）^{2}-（{x}_{1}-1）]$-1=$-2{x}_{1}^{2}$+6x₁-5．
设直线y=x+m与抛物线y=-2x²+6x-5相切，化为2x²-5x+5+m=0，令△=25-8（5+m）=0，解得m=$-\frac{15}{8}$．
∴两条平行线y=x-1与y=x-$\frac{15}{8}$的距离d=$\frac{|-1+\frac{15}{8}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7}{8\sqrt{2}}$．
∴（x₁-x₂）²+（f（x₁）-g（x₂））²的最小值为$\frac{49}{128}$．

点评 本题考查了直线与抛物线相切的性质、平行线之间的距离公式、函数的解析式，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于中档题．