Question

20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足ccos（2016π-A）-$\sqrt{3}$ccos（$\frac{3π}{2}$-A）=a+b．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=4，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，试求向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （I）利用诱导公式、正弦定理，结合和角的正弦公式，化简，即可求角C的大小；
（Ⅱ）若c=4，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，求出a=b=4，即可求向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影．

解答 解：（I）在△ABC中，∵ccos（2016π-A）-$\sqrt{3}$ccos（$\frac{3π}{2}$-A）=a+b，
∴ccosA+$\sqrt{3}$csinA=a+b，
∴sinCcosA+$\sqrt{3}$sinCsinA=sinA+sinB
∴sinCcosA+$\sqrt{3}$sinCsinA=sinA+sin（A+C）
∴$\sqrt{3}$sinCsinA=sinA+cosCsinA，
∴$\sqrt{3}$sinC=1+cosC
∴C=60°；
（Ⅱ）∵c=4，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，
∴16=a²+b²-ab，$\frac{1}{2}ab•\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴a=b=4
∴向量$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=-2．

点评 本题考查诱导公式、正弦定理、和角的正弦公式，考查平面向量的数量积的定义，投影概念，注意向量的夹角，是一道综合题．