Question

15．已知正项等比数列{a_n}满足log₂a_n+2-log₂a_n=2，且a₃=8，则数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2．

Answer 1

分析 利用对数的运算性质可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$，进而可得分别计算出公比和首项，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：∵log₂a_n+2-log₂a_n=2，
∴log₂$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=4，
又∵数列{a_n}为正项等比数列，
∴q=$\sqrt{\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}}$=2，
∴a₁=$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}$=2，
∴数列{a_n}时首项、公比均为2的等比数列，
∴S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
故答案为：2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．