Question

3．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：

价格x（元/kg）	10	15	20	25	30
日需求量y（kg）	11	10	8	6	5

（Ⅰ） 求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ） 利用（Ⅰ）中的回归方程，当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？
参考公式：线性回归方程$\widehaty=bx+a$，其中b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$，a=$\overline y-b\overline x$．

Answer 1

分析 （I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（II）把x=40代入回归方程解出y即可．

解答 解：（Ⅰ）$\overline x=\frac{1}{5}（{10+15+20+25+30}）=20$，$\overline y=\frac{1}{5}（{11+10+8+6+5}）=8$，
∴$\sum_{i=1}^5{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}={{（{-10}）}^2}+{{（{-5}）}^2}+{0^2}+{5^2}+{{10}^2}=250}$，$\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）=}$-10×3+（-5）×2+0×0+5×（-2）+10×（-3）=-80．
$b=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{-80}{250}=-0.32$．$a=\overline y-b\overline x=8+0.32×20=14.4$．
所求线性回归方程为$\widehaty=-0.32x+14.4$．
（Ⅱ）当x=40时，$\widehaty=-0.32×40+14.4=1.6$．
故当价格x=40元/kg时，日需求量y的预测值为1.6kg．

点评 本题考查了线性回归方程的求解，属于中档题．