Question

12．如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AC=$\sqrt{3}$AD，$\sqrt{3}$CD=2AC，CD=2BD．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若△ABD的外接圆的半径为$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）设AD=x，则AC=$\sqrt{3}$x，CD=$\frac{2}{\sqrt{3}}×\sqrt{3}x$=2x，由于AD²+AC²=CD²，可得∠CAD=90°．即可得出C．又CD=2BD，可得BD=AD=x，即可得出∠B=∠BAD=$\frac{1}{2}∠ADC$．
（II）在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinB}$=2$\sqrt{3}$，可得AD=$\sqrt{3}$．AC=3，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}×A{C}^{2}×sin∠CAB$．

解答 解：（I）设AD=x，则AC=$\sqrt{3}$x，CD=$\frac{2}{\sqrt{3}}×\sqrt{3}x$=2x，
∴AD²+AC²=${x}^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}$=4x²=CD²，∴∠CAD=90°．
∴sinC=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，可得C=30°，∠CDA=60°．
又CD=2BD，∴BD=AD=x，
∴∠B=∠BAD=$\frac{1}{2}∠ADC$=30°．
（II）在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinB}$=2$\sqrt{3}$，∴AD=2$\sqrt{3}×$sin30°=$\sqrt{3}$．
∴AC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×A{C}^{2}×sin∠CAB$=$\frac{1}{2}×{3}^{2}×sin12{0}^{°}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的边角关系、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．