Question

2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=m-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（其中t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2
（1）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值；
（2）若点P（m，0），直线l与曲线C交于相异两点A，B，求|PA|•|PB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，令判别式等于0解出m；
（2）令判别式大于0解出m的取值范围，利用关于系数的关系得出|PA|•|PB|关于m的函数，根据m的范围解出．

解答 解：（1）曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4，
将直线l的参数方程代入上式得：t²-$\sqrt{2}m$t+m²-4=0，
∵直线l与曲线C有且只有一个公共点，
∴（-$\sqrt{2}$m）²-4（m²-4）=0，解得m=$±2\sqrt{2}$．
（2）∵直线l与曲线C交于相异两点A，B，
∴（-$\sqrt{2}$m）²-4（m²-4）＞0，解得-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$．
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=m²-4．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|m²-4|．
∵-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$，∴0＜m²＜8，∴0≤|m²-4|＜4．
∴|PA|•|PB|的取值范围是[0，4）．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义与应用，属于中档题．