Question

1．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点F的直线l与双曲线C交于M，N两点，A为双曲线的左焦点，若直线AM与直线AN的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=2，则直线l的方程是（　　）

• A． y=2（x-3）
• B． y=-2（x-3）
• C． y=$\frac{1}{2}$（x-3）
• D． y=-$\frac{1}{2}$（x-3）

Answer 1

分析 设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及k₁+k₂=2，求直线l的斜率，即可求出直线l的方程．

解答 解：设直线方程为l：y=k（x-3），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立方程组得（5-4k²）x²+24k²x-36k²-20=0
∴x₁+x₂=-$\frac{24{k}^{2}}{5-4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-36{k}^{2}-20}{5-4{k}^{2}}$
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+3}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+3}$=$\frac{2k（{x}_{1}{x}_{2}-9）}{{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$=2
代入解得k=-2，
∴直线l的方程是y=-2（x-3）．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．