Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=$\frac{n•{2}^{n}-{2}^{n+1}}{（n+1）（{n}^{2}+2n）}$（n∈N₊），则S_n=$\frac{{2}^{n+1}}{（n+1）（n+2）}$-1．

Answer 1

分析 通过裂项可知a_n=$\frac{{2}^{n+1}}{（n+1）（n+2）}$-$\frac{{2}^{n}}{n（n+1）}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{n•{2}^{n}-{2}^{n+1}}{（n+1）（{n}^{2}+2n）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（n+1）（n+2）}$-$\frac{{2}^{n}}{n（n+1）}$（n∈N₊），
∴S_n=$\frac{{2}^{n+1}}{（n+1）（n+2）}$-$\frac{{2}^{n}}{n（n+1）}$+$\frac{{2}^{n}}{n（n+1）}$-$\frac{{2}^{n-1}}{（n-1）n}$+…+$\frac{{2}^{3}}{3×4}$-$\frac{{2}^{2}}{2×3}$+$\frac{{2}^{2}}{2×3}$-$\frac{2}{1×2}$
=$\frac{{2}^{n+1}}{（n+1）（n+2）}$-$\frac{2}{1×2}$
=$\frac{{2}^{n+1}}{（n+1）（n+2）}$-1，
故答案为：$\frac{{2}^{n+1}}{（n+1）（n+2）}$-1．

点评 本题考查数列的前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．