Question

7．已知函数f（x）=2x+1，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₁=2，T_n=b_n+1-2（n∈N）．
（1）分别求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）定义x=[x]+（x），[x]为实数x的整数部分，（x）为小数部分，且0≤（x）＜1．记c_n=$（\frac{a_n}{b_n}）$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=f（n）=2n+1．当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1，可得b_n+1=2b_n，b₁=2≠0，又令n=1，得b₂=4，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由题意，$\frac{a_1}{b_1}=\frac{3}{2}，{c_1}=\frac{1}{2}$；$\frac{a_2}{b_2}=\frac{5}{4}，{c_2}=\frac{1}{4}$；当n≥3时，可以证明0＜2n+1＜2ⁿ，因此${c_n}=（\frac{2n+1}{2^n}）=\frac{2n+1}{2^n}（n≥3）$，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）a_n=f（n）=2n+1．
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=b_n+1-b_n，b_n+1=2b_n，b₁=2≠0，又令n=1，得b₂=4．
∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=2$，{b_n}是以2为首项和公比的等比数列，
${b_n}=2•{2^{n-1}}={2^n}$．
（2）依题意，$\frac{a_1}{b_1}=\frac{3}{2}，{c_1}=\frac{1}{2}$；$\frac{a_2}{b_2}=\frac{5}{4}，{c_2}=\frac{1}{4}$；
当n≥3时，可以证明0＜2n+1＜2ⁿ，即$0＜\frac{2n+1}{2^n}＜1$，∴${c_n}=（\frac{2n+1}{2^n}）=\frac{2n+1}{2^n}（n≥3）$，
则${S_1}=\frac{1}{2}$，${S_2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，${S_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{7}{8}+\frac{9}{16}+…+\frac{2n+1}{2^n}（n≥3）$．
令$W=\frac{7}{8}+\frac{9}{16}+…+\frac{2n+1}{2^n}（n≥3）$，$\frac{1}{2}W=\frac{7}{16}+\frac{9}{32}+…+\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}（n≥3）$，
两式相减并化简得得$W=\frac{9}{4}-\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{2n+1}{2^n}=\frac{9}{4}-\frac{2n+5}{2^n}（n≥3）$．
∴${S_n}=3-\frac{2n+5}{2^n}（n≥3）$，检验知，n=1不合，n=2适合，
∴${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{3-\frac{2n+5}{2^n}，n≥2}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．