Question

5．已知f（x）=|x-2|-|x-a|．
（Ⅰ）当a=-5时，解不等式f（x）＜1；
（Ⅱ）若f（x）≤-|${x-\frac{1}{4}}$|的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 通过a=-5，不等式f（x）＜1化为|x-2|-|x+5|＜1，通过分类讨论求解不等式的解集即可．
（Ⅱ）通过x∈[1，2]时，化简不等式，利用解集的包含关系，列出与a有关的不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ） 当a=-5时，不等式f（x）＜1化为|x-2|-|x+5|＜1，
当x≤-5时，-（x-2）+（x+5）＜1，无解；
当-5＜x≤2时，-（x-2）-（x+5）＜1，解得x＞-2，又-5＜x≤2，
所以-2＜x≤2；
当x＞2时，（x-2）-（x+5）≤1，恒成立，又x＞2，所以x＞2．
因此，当a=-5时，解不等式f（x）＜1的解集为{x|x＞-2}．
（Ⅱ） $f（x）≤-|{x-\frac{1}{4}}|$$?|{x-2}|-|{x-a}|+|{x-\frac{1}{4}}|≤0$．
当x∈[1，2]时，$-（x-2）-|{x-a}|+x-\frac{1}{4}≤0$，即$|{x-a}|≥\frac{7}{4}$，
所以$x≥a+\frac{7}{4}$或$x≤a-\frac{7}{4}$，
因为$f（x）≤-|{x-\frac{1}{4}}|$的解集包含[1，2]，
于是$a+\frac{7}{4}≤1$或$a-\frac{7}{4}≥2$，故$a≤-\frac{3}{4}$或$a≥\frac{15}{4}$．
所以，实数a的取值范围为$（-∞，-\frac{3}{4}]∪[\frac{15}{4}，+∞）$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．