Question

20．如图，已知四棱锥P-ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积V．

Answer 1

分析 （I）由中位线定理得出MN∥BC，由MN∥AD，故MN∥AD，得出MN∥平面PAD；
（II）由∠PAD=45°得出PD=AD，于是棱锥体积V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PD$．

解答 （Ⅰ）证明：∵M、N分别是棱PB、PC中点，
∴MN∥BC，
又 ABCD是正方形，∵AD∥BC，
∴MN∥AD．
∵MN?平面PAD，AD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成的角为∠PAD，
∴∠PAD=45°．
∴PD=AD=2，
故四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×2=\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．