Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，$\frac{1}{2}$sinB=cos（B+C）sinC，则当B取得最大值时，△ABC的周长为2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{2}$sinB=cos（B+C）sinC，利用正弦定理可得：cosA=-$\frac{1}{2c}$＜0，A为钝角．因此cosAcosC≠0，由sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC，可得tanA=-3tanC，tanC＞0，tanB=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$，代入化简整理利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵$\frac{1}{2}$sinB=cos（B+C）sinC，
∴$\frac{1}{2}×1=-ccosA$，即cosA=-$\frac{1}{2c}$＜0，∴A为钝角．
∴cosAcosC≠0，
由sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC，
可得tanA=-3tanC，tanC＞0，tanB=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$=$\frac{-（-2tanC）}{1+3ta{n}^{2}C}$=$\frac{2}{\frac{1}{tanC}+3tanC}$≤$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当且仅当tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号．
∴B取得最大值arctan$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，∴c=b=1，C=B=$\frac{π}{6}$．
A=$\frac{2π}{3}$．
∴a=2×$1×cos\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$．
∴a+b+c=2+$\sqrt{3}$．
故答案为：2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．