Question

3．设S_n是数列{a_n}的前n项和，已知a₁=2，a_n+1=S_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=（2n-1）•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=（2n-1）•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=S_n+2．
∴a₂=4，n≥2时，a_n=S_n-1+2，可得a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n，n=1时也满足．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=（2n-1）•a_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³++…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2×$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．