Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA，sinC，sinB成等比数列，且b=2a．
（1）求cosC的值；
（2）若△ABC的面积为2$\sqrt{7}$sinAsinB，求sinA及c的值．

Answer 1

分析 （1）利用 sinA，sinC，sinB成等比数列，且b=2a，可得a，b，c的关系，利用余弦定理求cosC的值；
（2）若△ABC的面积为2$\sqrt{7}$sinAsinB，结合面积公式，即可求sinA及c的值．

解答 解：在△ABC中，∵sinA，sinC，sinB成等比数列，
∴sin²C=sinA•sinB，
∴c²=ab，
∵b=2a，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-2{a}^{2}}{2a•2a}$=$\frac{3}{4}$；
（2）由（1）可得，sin²C=$\frac{7}{16}$
∵△ABC的面积为2$\sqrt{7}$sinAsinB，
∴△ABC的面积为2$\sqrt{7}$sin²C=$\frac{7\sqrt{7}}{8}$，
∴$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{7\sqrt{7}}{8}$，
∴$\frac{1}{2}•a•2a•\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{7\sqrt{7}}{8}$，
∴a=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，∴b=$\sqrt{14}$，c=$\frac{\sqrt{28}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}•\sqrt{14}•\frac{\sqrt{28}}{2}$sinA=$\frac{7\sqrt{7}}{8}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{14}}{8}$．

点评 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查等比数列的性质，正确转化是关键．