Question

13．已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求直线AC′与直线A′D′所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC′与A′D′所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A′B′C′D′中棱长为1，
则A（1，0，0），D′（0，0，1），A′（1，0，1），C′（0，1，1），
$\overrightarrow{A{C}^{'}}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{{A}^{'}{D}^{'}}$=（-1，0，0），
设AC′与A′D′所在直线的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}^{'}}|•|\overrightarrow{{A}^{'}{D}^{'}}|}{|\overrightarrow{A{C}^{'}}|•|\overrightarrow{{A}^{'}{D}^{'}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AC′与A′D′所在直线的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查两条异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．